Toán hữu hạn Ví dụ

$4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $9$ , $10$ , $12$ , $12$ , $14$ , $16$ , $17$ , $17$ , $19$

Bước 1

Giá trị trung bình của một tập hợp số là tổng chia cho số lượng các số hạng.

$\overline{x} = \frac{4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

Bước 2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cộng $4$ và $5$ .

$\overline{x} = \frac{9 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

Bước 2.2

Cộng $9$ và $6$ .

$\overline{x} = \frac{15 + 7 + 8 + 9 + 9 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

Bước 2.3

Cộng $15$ và $7$ .

$\overline{x} = \frac{22 + 8 + 9 + 9 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

Bước 2.4

Cộng $22$ và $8$ .

$\overline{x} = \frac{30 + 9 + 9 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

Bước 2.5

Cộng $30$ và $9$ .

$\overline{x} = \frac{39 + 9 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

Bước 2.6

Cộng $39$ và $9$ .

$\overline{x} = \frac{48 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

Bước 2.7

Cộng $48$ và $10$ .

$\overline{x} = \frac{58 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

Bước 2.8

Cộng $58$ và $12$ .

$\overline{x} = \frac{70 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

Bước 2.9

Cộng $70$ và $12$ .

$\overline{x} = \frac{82 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

Bước 2.10

Cộng $82$ và $14$ .

$\overline{x} = \frac{96 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

Bước 2.11

Cộng $96$ và $16$ .

$\overline{x} = \frac{112 + 17 + 17 + 19}{15}$

Bước 2.12

Cộng $112$ và $17$ .

$\overline{x} = \frac{129 + 17 + 19}{15}$

Bước 2.13

Cộng $129$ và $17$ .

$\overline{x} = \frac{146 + 19}{15}$

Bước 2.14

Cộng $146$ và $19$ .

$\overline{x} = \frac{165}{15}$

Bước 3

Chia $165$ cho $15$ .

$\overline{x} = 11$

Bước 4

Lập công thức cho phương sai. Phương sai của một tập hợp các giá trị là thước đo độ phân tán của các giá trị của nó.

$s^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}$

Bước 5

Lập công thức cho phương sai của tập hợp các số này.

$s = \frac{{(4 - 11)}^{2} + {(5 - 11)}^{2} + {(6 - 11)}^{2} + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Trừ $11$ khỏi $4$ .

$s = \frac{{(- 7)}^{2} + {(5 - 11)}^{2} + {(6 - 11)}^{2} + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.2

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{49 + {(5 - 11)}^{2} + {(6 - 11)}^{2} + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.3

Trừ $11$ khỏi $5$ .

$s = \frac{49 + {(- 6)}^{2} + {(6 - 11)}^{2} + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.4

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{49 + 36 + {(6 - 11)}^{2} + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.5

Trừ $11$ khỏi $6$ .

$s = \frac{49 + 36 + {(- 5)}^{2} + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.6

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.7

Trừ $11$ khỏi $7$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + {(- 4)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.8

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.9

Trừ $11$ khỏi $8$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + {(- 3)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.10

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.11

Trừ $11$ khỏi $9$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.12

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.13

Trừ $11$ khỏi $9$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + {(- 2)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.14

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.15

Trừ $11$ khỏi $10$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + {(- 1)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.16

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.17

Trừ $11$ khỏi $12$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.18

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.19

Trừ $11$ khỏi $12$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.20

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.21

Trừ $11$ khỏi $14$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 3^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.22

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.23

Trừ $11$ khỏi $16$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 5^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.24

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.25

Trừ $11$ khỏi $17$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 6^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.26

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.27

Trừ $11$ khỏi $17$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 6^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.28

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.29

Trừ $11$ khỏi $19$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 8^{2}}{15 - 1}$

Bước 6.1.30

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.31

Cộng $49$ và $36$ .

$s = \frac{85 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.32

Cộng $85$ và $25$ .

$s = \frac{110 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.33

Cộng $110$ và $16$ .

$s = \frac{126 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.34

Cộng $126$ và $9$ .

$s = \frac{135 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.35

Cộng $135$ và $4$ .

$s = \frac{139 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.36

Cộng $139$ và $4$ .

$s = \frac{143 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.37

Cộng $143$ và $1$ .

$s = \frac{144 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.38

Cộng $144$ và $1$ .

$s = \frac{145 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.39

Cộng $145$ và $1$ .

$s = \frac{146 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.40

Cộng $146$ và $9$ .

$s = \frac{155 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.41

Cộng $155$ và $25$ .

$s = \frac{180 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.42

Cộng $180$ và $36$ .

$s = \frac{216 + 36 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.43

Cộng $216$ và $36$ .

$s = \frac{252 + 64}{15 - 1}$

Bước 6.1.44

Cộng $252$ và $64$ .

$s = \frac{316}{15 - 1}$

Bước 6.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Trừ $1$ khỏi $15$ .

$s = \frac{316}{14}$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $316$ và $14$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $316$ .

$s = \frac{2 (158)}{14}$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$s = \frac{2 \cdot 158}{2 \cdot 7}$

Bước 6.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s = \frac{2 \cdot 158}{2 \cdot 7}$

Bước 6.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$s = \frac{158}{7}$

Bước 7

Tính xấp xỉ kết quả.

$s^{2} \approx 22.5714$